중소기업에서 이직해온 경험으로 말씀드리면, 실제로 업무시간 때문에 공부를 할 시간이 없었으며, 저녁에 오면 너무 힘이들고, 주말에는 의지가 부족해 잘 되지 않았을 것 같습니다. 저는 중소기업 퇴사 후 준비했습니다. 결론은, 하면서 준비하시기 어렵긴 한데, 회사에서 칼퇴하고 별로 힘들지 않아 체력적으로 나쁘지 않다면 괜찮을 것 같아요..

업무가 힘들지 않다면, 병행하시는게 베스트일 것 같습니다.

공기업 사무직에 필요한 기본적인 계량적 스펙(토익 최소 750이상, 한국사, 컴활) 따고 시작하셔야 합니다.
왜냐면 다른 공기업 사무직 지원자들이 대다수 기본적으로 갖추고 지원하기 때문입니다.
여기서 인턴경험도 있죠..
근데 인턴경험은 그렇게 중요한 요소는 아닙니다.
LH는 타 공기업과달리 저런 스펙도 많이 필요하지가 않으니 준비가 수월하나
LH만 바라보고 취준한다는게 현실적으로 어렵기 때문에

1. 중소기업다니면서 스펙 다 갖추고 공부해서 들어가면 물론 너무 좋지만
2. 집에서 빡세게 공부하며 단타에 빨리 취준하는걸 추천드립니다.

물론 각자의 환경과 처지가 모두 다르고 실력과 역량이 다르니 뭐가 베스트인지는 말씀드리기 힘들지만
일과 취준을 병행하는 게 공기업 취준을 해 본 경험이 있지 않은 이상 많은 시간이 소요될것이라 생각듭니다..

절대 절대로 일하지마세요.
공기업은 필기점수가 절대적으로 중요합니다.

필기만 합격하면 면접은 상대적으로 뚫기가 쉬워요. 경쟁률이 확 낮아지니까요.
순공시간 늘려서 필기시험에 집중하세요.

안녕하십니까 LH 재직 중인 현직자입니다.

사실 1,2번 어느것을 선택하시던, 그건 본인이 선택하기 나름인 문제입니다. 어느것을 선택하시더라도 본인이 그것을 어떻게 받아드리고 무엇을 배우느냐가 중요한 거니까, 하지만 현실적인 입장에서 빨리 취업을 희망하신다고 하면 2번을 추천 드립니다.
1년 정도 중소기업 다니며 경력으로 삼기에는 업무기간상 무리가 있어보이고, 현실적으로 회사를 다니며 이직을 병행한다는 것이 생각만큼 쉬운 점이 아닐 수도 있다는 점을 말씀드리고 싶습니다. 물론 본인의 의지에 따라 다른건 맞습니다.
그리고 공기업 취업했을 당시를 돌아보면, 공기업 취업은 일정 패턴을 유지하며 준비해야하는 긴 레이스입니다. 1년의 기간을 잡으시고, 플랜을 세우신 뒤 하나하나 쳐간다는 느낌으로 준비하시는게 좋을 듯 합니다.