Q. 전공 통계에서 표본분산은 왜 자료 개수보다 하나 작은 수로 나누나요?

답변 4

• q

  qeasdasdqweqe한영회계법인

  코부장 ∙ 채택률 88%

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  작은 모집단에서 직접 반복 추출을 해보면 보정의 의미가 보입니다. 모집단이 0과 2 두 값으로 이루어져 있고 각각 같은 확률이라면 모집단 분산은 1입니다. 여기서 두 번 독립적으로 뽑으면 (0,0), (0,2), (2,0), (2,2)가 같은 확률로 나옵니다. 각 표본의 평균을 뺀 편차제곱합은 차례로 0, 2, 2, 0입니다. 이를 2로 나눈 분산의 평균은 0.5지만, 1로 나눈 값의 평균은 모집단 분산과 같은 1입니다. 문제에서 자료 자체의 흩어짐을 묻는지, 이 자료로 더 큰 집단의 분산을 추정하라는지 먼저 읽어보세요. 엑셀에서도 두 목적에 각각 VAR.P와 VAR.S를 씁니다.

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• 라

  라면두개가능한영회계법인

  코이사 ∙ 채택률 99%

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  표본으로 모집단의 분산을 추정하려면, 표본평균을 먼저 추정하는 데 쓴 정보 하나를 보정해 n−1로 나눕니다. 예를 들어 자료가 2·4·6이면 평균은 4이고 편차는 −2·0·2입니다. 편차의 합이 반드시 0이므로 앞의 두 편차가 정해지면 마지막 편차는 자동으로 결정되어 자유도는 2가 됩니다. 편차제곱합은 8이어서 이 세 값 자체의 분산은 8/3, 이들이 모집단에서 뽑은 독립 표본이라 보고 모집단 분산을 불편추정하면 8/2=4입니다. n−1 보정은 이 표본에서 실제 오차가 반드시 더 작다는 뜻이 아니라, 같은 방식으로 표본을 반복 추출할 때 추정값의 평균이 모집단 분산에 맞도록 하는 것입니다. 따라서 “주어진 자료 자체의 흩어짐”인지 “더 큰 모집단의 분산 추정”인지 먼저 구분하고, 계산 함수 설명에서 분모를 확인하세요. 참고: 펜실베이니아주립대 통계 강의 https://online.stat.psu.edu/stat500/Lesson01 공식의 목적을 함께 이해하면 함수 선택도 훨씬 쉬워집니다. 멘티님을 응원합니다!

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• P

  PRO액티브현대트랜시스

  코부사장 ∙ 채택률 100%

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  표본분산에서 자료 개수보다 1 작은 수로 나누는 이유는 평균을 계산하는 과정에서 이미 정보 하나를 사용했기 때문입니다. 이를 이해하려면 자료 3개만 가지고 생각해 보면 됩니다. 예를 들어 2, 4, 6이라는 자료가 있다고 가정하겠습니다. 평균은 4이고, 각 자료에서 평균을 빼면 편차는 -2, 0, +2가 됩니다. 이 편차를 각각 제곱하면 4, 0, 4이고 합계는 8입니다. 여기서 중요한 점은 편차의 합은 반드시 0이 되어야 한다는 것입니다. 앞의 두 편차가 -2와 0으로 정해졌다면 마지막 편차는 무조건 +2가 되어야 합니다. 즉, 자료는 3개지만 편차 3개를 모두 독립적으로 결정할 수는 없습니다. 실질적으로 자유롭게 정할 수 있는 값은 2개뿐입니다. 이것이 자유도가 자료 개수에서 1을 뺀 n-1이 되는 이유입니다. 그렇다면 왜 표본분산은 8을 3이 아닌 2로 나눌까요? 표본평균은 모집단의 실제 평균이 아니라 일부 자료를 이용해 추정한 평균입니다. 표본평균을 기준으로 편차를 계산하면 자료들이 평균 주변으로 모이는 경향이 있어 실제 모집단의 변동성보다 작게 계산됩니다. 이를 보정하기 위해 분모를 n-1로 사용하는 것입니다. 반면 모집단 전체의 평균을 알고 있고 전체 자료의 변동성을 계산한다면 자료 개수 n으로 나누면 됩니다.

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• 

  채택스포스코

  코부사장 ∙ 채택률 68%

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  안녕하세요. 멘티님. 반갑습니다. 표본분산에서 자료 개수보다 하나 작은 수로 나누는 이유는 표본평균을 이미 데이터로부터 한 번 계산해서 쓰기 때문입니다. 평균을 먼저 구하는 순간 자료들 사이에서 하나의 조건이 생기고 그래서 실제로는 독립적으로 마음껏 움직일 수 있는 값이 하나 줄어듭니다. 작은 예로 값이 세 개라면 세 값을 다 자유롭게 쓰는 것 같아도 평균을 맞추는 순간 마지막 값은 앞의 두 값이 정해지면 따라가게 됩니다. 그래서 표본에서 흩어짐을 더 공정하게 보정하려면 하나를 빼서 나누는 방식이 쓰입니다. 반대로 전체 집단의 모든 자료를 다 알고 있을 때는 이미 전체 평균도 확정되어 있으니 자료 개수로 나누는 분산을 쓰면 됩니다. 문제에서 전체 집단인지 표본인지 판단할 때는 이 데이터가 세상을 대표하려고 뽑힌 일부인지 아니면 그 집단 전체를 다 담은 값인지 보면 됩니다. 전공 문제에서는 모집단 분산인지 표본분산인지 용어를 직접 쓰는 경우가 많고 함수도 그에 따라 구분됩니다. 계산 도구에서는 보통 표본용 분산과 모집단용 분산이 따로 있으니 설명에 n으로 나누는지 n에서 1을 빼는지 확인하시면 됩니다. 표본평균을 먼저 구해 놓고 그 평균을 기준으로 흩어짐을 재는 상황이면 대부분 표본분산 쪽을 선택하시면 되고 전체 데이터를 다 다루는 집단의 기술 통계라면 모집단 분산을 쓰면 됩니다. 모쪼록 도움이 되셨다면 채택부탁드립니다. 감사합니다.

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