우선 카카오에도 비전공 개발자분들이 적지 않습니다. 다시 학위를 준비하실 정도로 개발에 대한 열정이 많으신 것 같은데 제 개인적인 의견으로 글을 남겨봅니다.
(일과 학습을 병행한다고 가정하겠습니다.)
결론부터 말씀드리자면 꿈꾸시던 기업 면접에서 떨어지셨다고 다른 회사로 눈돌리시기 보다는 현 직장을 유지하시면서 전공지식을 계속 쌓아서 최종적으로 원하시는 회사에 입사하시는걸 추천드립니다. 원치않던 새 회사에 가시면 적응 기간 때문에 결국 전공 공부 할 시간이 줄어들 것으로 생각됩니다.
말씀하신 개발 전문 회사들은 새로운 기술 도입이 빠르고 자유로운 편입니다. 그 문화에서 주도적으로 일을 하려면 전공 지식이 뒷받침이 되어야 하기 때문에 경력 어필 만큼이나 중요하게 생각합니다. 또한, 포트폴리오에 쓰셨던 기술들을 왜 적용시켰고 같은 분야의 기술 중에서 장단점은 뭔지도 설명하실 수 있어야 합니다. 쉽게 얘기해서 알고 썼느냐가 중요하다는거죠. 웹 분야의 기술 면접을 계속 보시다보면 공통적으로 물어보는 지식을 알게 되실거고 그것을 필두로 지식을 쌓아가시는 것도 좋을 것 같습니다.
멘티님께서 말씀하신 회사에 왜 개발자들이 가고 싶어하는지는 잘 아실것 같습니다. 꼭 꿈을 이루시기 바랍니다.

생각하시는 회사가 모든 면에서 좋은 회사라 많은 사람들이 가고싶어하는 회사입니다.
물론 본인도 가고싶구요 ㅎㅎ
벌써 지원도 해보고 면접도 보신것 같고,
지금 무엇때문에 떨어졌는지 본인이 잘 알고 계신것 같은데요.
제 생각에는 본인이 부족한부분(학위, 기본적인 컴퓨터 공학 전공 이론, 자료구조, 알고리즘 등)을 공부 하여 계속해서 문을 두드리는게 좋을 것 같습니다.
물론 현재 회사는 계속 다니면서 준비하시면 언젠간 들어가실 수 있을겁니다.
화이팅 하시고, 꼭 좋은 회사에 합격하길 바라겠습니다.

전문대 졸 si로 시작했습니다. 퇴근하고 공부하고 주말에도 공부했습니다. 그렇다고 너무 빡세게한건아니고요 그냥 가볍게 한시간정도? 당장 그 회사들을 가려고 빡세게달리지마세요. 공부는 그 회사들 들어가서도 해야됩니다. 자기의페이스를 찾아보고 그 패이스에 맞게 꾸준히하세요 그리고 면접 자주보세요. 가고싶은회사들은 이력남으니까 자신있을때 넣으시고 그 외의회사들 면접보면서 부족한부분채우시면 길이보일겁니다.